δ-1 [ Q1 Cms ( Q1 -Q2 )-( Q1 -Q2 ) Cms Q2 ]
取范數并注意到 δ=χ(φ1+φ2 ),有 ‖W ( Q1 )-W ( Q2 ) ‖≤
-
δ1 ( ‖Q1 Cms ‖ + ‖Cms Q2 ‖) ‖Q1 -Q2 χφ1 +φ1
(φ1 +φ1 ) ‖Q1 -Q2 ‖ = ‖Q1
δφ1 +φ2
因此 , W ( Q)是 S (φ1 )上的一個壓縮映射 ,則式
(20)有唯一解 R3 ∈S (φ1 )。因此 ,在滿足定理 5的條件下 ,式 (12)有唯一解 R ,下面就可給出用式 (8)迭代求解的條件。
將式 (1)改寫為 CXm =XmΩm,設矩陣 C的特征值 μ1>μ2> .>μn >0 ,記 m個最大特征值矩陣為 Ωm = diag (μ1 , .,μm) ,對應的正規化特征向
Xmm
量矩陣為 Xm =
,
Xsm
Cmm Cms
Xmm
Xmm
Ωm
則有
=
Csm Css
Xsm
Xsm
-1
記 R= Xsm Xmm ,由上式可推知 I
I
Cmm Cms -1
=
XmmΩm Xmm
Csm Css
R
R I
Cmm Cms
I
及
=
( Cmm +Cms R)
R
Csm Css
R
‖≤ -Q2 ‖
因此 ,為了分析逆迭代動力縮聚式 (8)的收斂性 ,可轉換為研究式 (21)的收斂性。
R( i+1) Ω( i) X(i) -1 )-1
=( Csm mmmm + Css R(i)) ( X(i) m
(i = 0 ,1 ,2 , .)
R(0)
= Csm Cmm -1
(21)
將迭代式 (21)與 IIRS法迭代式 ( 7)比較 ,可知二者沒有本質的區別 ,因此有類似的迭代收斂的條件 ,證明過程也完全類似。
3 子空間迭代法與動力縮聚法之間的關系
關于子空間迭代法與逆迭代動力縮聚法的關系 ,在文獻 [8 ]
迭代法與 IIRS法的關系進行討論。
m
Y(i+1)
Kmm Kms
mm
=
Y(i+1)
Ksm Kss
sm
由式 (22)的第 2行計算 Y(i+1)sm代入第 1行 ,令 X( i) R( i) X( i)
sm = mm
Y( i+1) R( i+1) Y(i+1) sm = mm
可得
Y(i+1)Kmm Y( i+1)
mm + Kms R(0) mm = ( R(0)) T ( Msm + Mss R(i) ) X(i) +( Mmm mm
mm + Mms R(i) ) X( i)
(23)利用式 (4)和式 (5),有
K(0)( T(0)) T
T= Kms + Kms R(0)= KT(0) M( i)
R= Mmm +( R(0)) TMsm + Mms R(i) +
( R(0)) TMss R(i) =( T(0)) T MT(0)則式 (23)簡化為
(0) Y(i+1) X( i)
KTmm = M(i)Rmm (24)假設 Y(i+1)mmmm
可逆 ,聯立式 (24)和式 (22),消去 Y(i +1) 項 ,便得到 IIRS法的迭代式
R( i+1) R(0)-1 )-1K(0)
=+ Kss ( Msm + Mss R(i)) ( M(Ri) T
(25)
反之 ,用迭代式 ( 25)計算 R(i +1),按 IIRS法形成 , Y(i +1) R(i +1)
X(i)sm=R( i) X(i)mmsm =Y(i+1)mm,滿足子空間迭代式 (22),詳情可參見文獻 [7 ]。
( i)
m = MXm
是經過 i次迭代后是待求的第 i +1次
m
Mmm M ms X( i) mm
Msm Mss X( i) sm
(22)
以上分析說明 IIRS法實質上是子空間迭代法的一種變形形式 ,因此它具有子空間迭代法的收斂速度。動力縮聚法的主要優點有 :不需要每個迭代步都求解一個小型特征值問題 ,并且其初始迭代向量具有解析表達式 ,很容易求取。但其弱點是尚未成為大型動力學分析軟件的標準算法 ,未得到實踐充分檢驗 ,計算中需要人為選擇主、輔自由度 [14215 ]。相反 ,子空間迭代法已十分成熟 ,已有標準的算法 ,且獲得了廣泛應用 ,但該法在每個迭代步中均需求解一個小型特征值問題 ,計算效率相對較低 ,且初始迭代向量需人為選定 ,這對迭代收斂方向和效果有重要影響。一般認為 ,子空間迭代計算出的所有特征對中 ,僅前一半是可接受的 ,而動力縮聚法尚無此方面的共識 ,這是需要進一步研究的。
4 數值算例
如圖 1所示 ,某 6層平面框架結構 ,其材料彈性模量 E =21 1 ×1010 830 kg/ m3A =01 2 m2
,采用 2節點 6自由度平面梁單元對該結構進行有限元建模 ,共劃分 32個節點、 36個單元、 90個自由度。現分別以 20 , 23 , 25 , 28 , 30這 5個節點處的水平自由度作為主自由度 ,其余 85個自由度為輔助自由度 ,進行動力縮聚計算 ,該算例取自文獻 [ 8 ]。計算中共迭代了 4次 ,在子空間迭代中 ,選取的初始迭代向量為 X0 = [ e1 e2 e3 e4 e5 ],其中 , ei(i =1 , ., 5)為第 i個元素為 1 ,其余 89個元素為零的向量。計算結果見表 1和表 2。
圖 1 6層平面框架及有限元模型節點劃分示意圖 Fig11 Six2story frame with defined finite element nodes
表 1 6層框架前 6階固有頻率計算結果對比
(單位 :rad ·s-1)
Table 1 First 6 natural frequencies of six2story frame by
different methods ( Unit :rad ·s-1)
固有頻率階次
方 法
1234 5
全自由度有限元解 801 65 2601 92 4901 82 7701 87 8111 84 IIRS法 801 65 2611 01 4961 15 7991 00 8651 26逆迭代動力縮聚法 801 65 2601 92 4901 83 7761 50 8471 01子空間迭代法 801 65 2601 92 4911 00 7931 23 8911 25
表 2 6層框架前 6階固有頻率計算結果相對有限元解誤差對比 (單位 : %) Table 2 Relative errors of f irst 6 natural frequencies of six2story frame by different methods ( Unit :%)
固有頻率階次
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