ss ms Zmm -ms ) ,則式 ( 14)就是關(guān)于 R的
L yap unov矩陣方程
R -ARB = G (15)
定理 1[12 ] 矩陣方程 R-ARB = G有唯一
解 ,當(dāng)且僅當(dāng) λj/μk ≠1。其中 1/μ1 , ., 1/μs和
λ1 , .,λm分別為矩陣 A和 B的特征值。根據(jù)式 (1)和式 (3)的定義可知 :矩陣對 ( K,
M)的 m個(gè)最小特征值 λj(j =1 , .,m) ,與矩陣對
( Kss , Mss )的特征值 μk (k =1 , ., s)互不相同 ,則 λj/μ≠1。將式 (14)與式 ( 15)對照 ,由定理 1可
k
知式 (14)有唯一解 R。
s
定理 2[12 ] 給定矩陣 A ∈Cs ×, B ∈Cm ×m, G ∈
Cs ×m,并且矩陣 A和 B的譜半徑滿足 ρ( A)ρ( B) <
1 ,則矩陣方程 R-ARB = G有唯一解
∞
R= ∑Aj GB j。
j= 0
定理 3[13 ]
KΦ =MΦΛ及
Kssη=μMssη的特征值分別為 0<λ1<λ2< .<λn
和 0<μ1 ≤μ2 ≤.≤μs,則λj ≤μj,μk -j +1 ≤λn -j +1
(j =1 , ., s)。
定理 1～定理 3為分析迭代式 (7)產(chǎn)生的 R( i)能否收斂到精確的 R做了理論上的準(zhǔn)備。根據(jù)定理 2知式 (14)的解為
R(0) MT ( R(0) MT
-1 -1
R =+ Kss ms Zmm + As+ Kss ms Zmm ) · ( R(0)-1MT
Zmm + A2 s+ Kss ms Zmm ) Z2 mm + . + Ai-1 ( R(0)-1MT ) Zi-1
s+ Kss ms Zmm mm + . (16)然而 ,用迭代式 (7)計(jì)算 i步迭代 ,得到 R(i) = R(0) ms Z( i-1)( R(0) ms Z(i-2)
-1 -1
+ Kss MT mm + As+ Kss MT mm ) · Z(i-1)( R(0)-1T 3) Z( i-1)
mm + A2 s+ Kss M ms Zmm (i-) Z(i-2)mmmm + . + -1 -1 -2)-1)
Ai( R(0) MT ) Z(1) .Z(iZ(i
s+ K ms Z(0) mm mm mm +
ss mm
R(0) Z(1) .Z( i-2)AisZ(0)mmmm mm Z(i-1)mm(17)
定理 4 設(shè)矩陣 K-1Mssmm的譜半徑滿足
ss 和 Z( j)
ρ( Kss -1M ss )ρ( Z(j)mm) <1 ,j =1 , .,i -1 ,則迭代式 R( i) R(0)-1 -1)) Z(i-1)
( MT
=+ Kss ms + Mss R(imm
(18)
收斂 ;并且 ,當(dāng)矩陣 R( i)收斂到精確動(dòng)力縮聚矩陣
R= ΦΦ-1 時(shí) ,矩陣 Z(i)mm就收斂到式 ( 4)的精確小
smmm
型特征值問題解 : Zmm = Φmm Λmm Φ-1 。反之 ,
mm
也對。
證明 因?yàn)?ρ( Kss -1Mss )ρ( Z(j)mm) <1 ,j =1 , .,
i -1 ,比較式 (16)與式 (17)的對應(yīng)項(xiàng) ,根據(jù)定理 2
可知迭代式 (18)是收斂的。下面證明定理的后兩個(gè)結(jié)論。用式 (18)減去式 (11),得到
R( i) 1 ( Z(i-1)
e(i)= -R = K-ms -)+
ss MT mm Zmm -1 -1)-1)
( R(iZ(i
Kss Mss mm -RZmm ) = -1 -1)
Kss ( MT + Mss R)( Z(i-)
ms mm Zmm + -1 ( R(i-1)-1)
R) Z(i
Kss Mss -mm (19)
經(jīng)移項(xiàng)、取范數(shù) ,可知 ‖K -1 ( Mms T mm -) ‖ =
ss + Mss R)( Z(i-1) Zmm
‖( R(i) ( R(iR) Z(i
-1 -1)-1)
-R)-( Kss Mss -mm ) ‖≤ -1 ( R(i-1) ‖R( i)
‖Kss Mss -R) Z(i-1)mm‖ +-R ‖≤ -1) ‖R( i)
‖R(i
-R ‖ +-R ‖所以 ,當(dāng)‖ R( i) -mm 1) -
R ‖→0時(shí) ,就有‖ Z(i -Zmm ‖→0。反之 ,由條件
ρ( Kss -1Mss )ρ( Z(j)mm) <1 ,j =1 , .,i -1及式 (19)易推知 ‖e(i) -R ‖≤
ms mm -Zmm ‖ + 11)-1)
ss Z(iR ‖
ss Mmm -‖‖R(i-
注意到 ‖ Kss -1Mss Z(i -1) ‖<1 ,再由壓縮映像原理
mm
知 :當(dāng)‖ Z(i -1) -‖→0時(shí) ,就有 ‖ R( i) -R ‖→0。
mm Zmm
通過以上的分析可知 :①設(shè)矩陣對 ( Kss , Mss )的特征值為 0<μ1 ≤μ2 ≤.≤μs,矩陣 Zmm的特征值為 0<λ1< .<λm,且λi/μj <1 ,i =1 , .,m;j = 1 , .,s由定理 1知矩陣方程式 ( 12)有唯一解 R。
②要用 IIRS法計(jì)算特征值問題式 (1)的 p個(gè)最小特征值 λ1<λ2< .<λm,需合理地選擇結(jié)構(gòu)有限元模型的主、輔坐標(biāo)使得 λm <μ1 ,即ρ( K -1ssMss ) ·
-1
ρ( Mmm Kmm ) <1。否則 ,由矩陣特征值分割定理 3可知 ,定理 4的條件不滿足 ,則 IIRS法迭代過程就可能不收斂到式 (12)的解 R。
21 2 逆迭代動(dòng)力縮聚法的收斂分析
若迭代式 ( 8)收斂 ,則矩陣方程 R= ( Csm + Css R)( Cmm +Cms R) -1一定有解。這是一非對稱的代數(shù) Riccati方程 ,即
Css R -RCmm = RCms R -Csm (20)
式中 : Cmm ∈Rm ×m; Cms ∈Rm ×s; Csm ∈Rs ×m; Css ∈
Rs ×s。用有限元法建模 ,選主、輔自由度數(shù) m ν s,可知式 (20)有以下特點(diǎn) : Css通常是一個(gè)大型實(shí)對稱帶狀矩陣 ; Cmm是小型的實(shí)對稱稠密矩陣 ;矩陣 Csm ms ≠0 ,但僅有少數(shù)的非零元素。
= CT 下面首先研究式 ( 20)解的性質(zhì)和有解的條件 ,然后分析研究動(dòng)力縮聚逆迭代法的收斂性。假設(shè)線性變換 T( Q) =Css Q-QCmm ,其中 Css ∈
Rs ×s, Cmm ∈Rm ×m, Q ∈Rs ×m,且‖ Cms ‖≠0及
‖Csm ‖≠0。
引理 若 R是式 (20)的解 ,則
(1) ‖R ‖≠0 ;
‖T( Q) ‖‖T( R) ‖
(2) min ≤ ≤‖Cms ‖·
Q ≠0 ‖Q ‖‖R ‖ ‖Csm ‖‖R ‖+ ;
‖R ‖
(3)記χ= ‖Cms ‖,γ= ‖Csm ‖,φ= ‖R ‖,
δ= min ‖T( Q) ‖ ,則δφ≤χφ2+γ;
Q ≠0 ‖Q ‖
(4)當(dāng)δ2-4χγ>0時(shí) ,方程 χφ2-δφ+γ=0
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