(05D52009) ;國家 “863”計劃 (2006AA706103)各自的特點。通過一個數(shù)值例子 ,對幾種計算方
通訊作者 :汪曉虹 E2mail : wxhnj @nuaa. edu. cn法進行了對比。
1 動力縮聚法簡介
假設結構有限元模型的總自由度為 n,結構的剛度矩陣和質量矩陣是 n階實對稱、帶狀、正定矩陣 ,分別記為 K, M。在結構固有振動分析中 ,需要求解如下大型廣義特征值問題
KX = MXΛ (1)式中 :固有振型矩陣 X= [ x1 x2 . xn]滿足正交規(guī)范化條件
XT
KX = Λ
(2)
XT
MX = I 式中 :Λ = diag (λ1 ,λ2 , .,λn)為特征值矩陣 ,且 0<λ1<λ2< .<λn。通過適當?shù)剡x取結構有限元模型的主、輔自由度 ,將其 n個總自由度分為 m個主自由度和 s個輔自由度兩部分 ,且 m ν s。記 Λmm = diag (λ1 ,λ2 , .,λm)是式 ( 1)的 m個最小特
征值矩陣 , Xm = Xmm 是相應的特征向量矩陣 ,
Xsm
則針對主自由度 ,由式 (1)可得
Kmm Kms
X
mm Λmm Ksm Kss
Mss Xsm
(3)假設 Xsm = RXmm ,稱 R為動力縮聚矩陣 ,代入式
(3),可得到一個
m階的小型特征值問題 [7 ]
KT Xmm = M T XmmΛmm (4)式中 : KT = TT KT ; M T = TT MT ;
I
并且 T=
R
XT
mm KT Xmm = Λmm
(5)
XT
mm M T Xmm = Imm 由此可知 ,只要能確定 R ,則可由求解小型特征值問題式 (4)獲得大型特征值問題式 ( 1)的前 m個低階特征對 ,從而實現(xiàn)對原系統(tǒng)的動力縮聚。
目前 ,對 R的求解主要有 3種方法。
11 1 IIRS法[427]
由式 (3)的第 2行及 Xsm = RXmm ,可得
( Ksm + Kss R) Xmm =( Msm + Mss R) XmmΛmm (6)聯(lián)立式 (4)和式 (6),得到 IIRS法的迭代公式為
R(i+1)= R(0)-1 Λ( i) 1
+ Kss ms + Mss R(i) ) X( i) mm (i)mm
( MT mm( X)-(i = 0 ,1 ,2 , .)(7a)也可寫為
R( i+1) R(0)-1 )-1K( i)
=+ K ( MT + Mss R(i)) ( M( i)
ss ms TT
(i = 0 ,1 ,2 , .)(7b)
K-1KT
式中 : R(0) =-ss ms。
11 2 逆迭代動力縮聚法 [ 8]
做分解 : K= LDLT ,令
Cmm Cms
C =( LD1/ 2 )-1M ( LT 1 =
D1/ 2 )-Csm Css
將式 (1)改寫為 CXm =XmΛm -1 ,從而得到逆迭代動
力縮聚法的迭代公式為
R( i+1) 1
=( Csm + Css R(i)) ( Cmm + Cms R(i)) -
(i = 0 ,1 ,2 , .)
R( 0) = Csm Cmm -1
(8)
11 3 動力縮聚完全迭代法 [ 9]
由式 (3)的第 1行 ,得到
1
( Mmm + Mms R)
-1 ( Kmm = XmmΛmmX-mm
(9)
聯(lián)立式 (6)和式 (9),得動力縮聚完全迭代法的迭
1 1
[( MT + Mss R(i)) ( Mmm
ss ms + Mms R(i)) -·
KT
( Kmm + Kms R(i)) -ms ] (i = 0 ,1 ,2 , .)
(10)
K-1KT
式中 : R(0) =-ss ms。
2 動力縮聚法的收斂性分析
目前 ,直接針對迭代方程式 ( 7)、式 ( 8)及式
(10)從矩陣方程求解的角度進行收斂性分析的研
究報道還未見到 ,本文主要針對該方面進行研究。要計算 R ,首先需要式 (11)～式 (13)都有解。
-1 -1 1
KT ( MT
R =-Kss ms + Kss ms + Mss R) XmmΛmmX-mm
(11)
R =( Csm + Css R)( Cmm + Cms R)-1 (12) KT ( MT
ms + Kss R = ms + Mss R) ·
( Mmm + Mms R)-1 ( Kmm + Kms R)(13)式 (11)稱為 Lyap unov矩陣方程 ;式 ( 12)稱為非對稱的 Riccati矩陣方程 ;式 (13)為階數(shù)更高的關于 R的矩陣方程。它們是否有解與 R的系數(shù)矩陣的性質密切相關 ,需要滿足一定的條件 [10212 ]。
注意到式 (4)、式 (6)及式 ( 9)之間的關系 ,可知 IIRS法和動力縮聚完全迭代法均有共同的另一迭代形式 ,即
R(i+1) R(0)-1 Λ(i) )-1
=+ K( MT + Mss R(i) ) X(i) mm ( X
ss ms mm(i)mm因此 ,僅研究 IIRS法的迭代式 (7)和逆迭代動力縮聚法的迭代式 (8)的收斂性。
21 1 IIRS法的收斂性分析
-1 -1
記 Zmm =Mmm Kmm ,則 Zmm =XmmΛmm Xmm可將
式 (11)改寫為
-1 -1
( MT KT
R -Kss Mss RZmm = Kss ms Zmm -ms )(14)
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